Question

【题目】如图1，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，连接，，，设的面积为．求关于的函数表达式，并求出当为何值时，的面积有最大值；

（3）如图2，设抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为．在直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2），当t=时，S取最大值，最大值为；（3）M(1，6)．

【解析】

（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；利用二次函数的性质求出S的最大值；

（3）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，利用平行四边形对角线互相平分可得出点P、E的坐标，进而可得出点M的坐标．

（1）将A(﹣1，0)、B(3，0)代入y=﹣x2+bx+c，

，

解得，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．

（2）如图1，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．

设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0)，

将B(3，0)、C(0，3)代入y=mx+n，得，

解得：，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．

∵点P的坐标为(t，﹣t2+2t+3)，

∴点F的坐标为(t，﹣t+3)，

∴PF=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t，

∴SPFOBt2t

(t)2．

∵0，

∴当t时，S取最大值，最大值为．

（3）如图2，连接PC，交抛物线对称轴l于点E．

∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，

∴抛物线的对称轴为直线x=1．

若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE．

∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，

∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，

∴点P的纵坐标=﹣22+2×2+3=3，

∴点P的坐标为(2，3)．

∵点C的坐标为(0，3)，

∴点E的坐标为(1，3)，

∴点M的坐标为(1，6)．