题目内容

应用规律，解决问题
（1）定义：a为不等于1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是，已知，
①a2是a1的差倒数，则a2=_________．
②a3是a2的差倒数，则a3=_________．
③a4是a3的差倒数，则a4=_________．
④以此类推，a2011=_________．
（2）我们知道：，…，…×，试根据上面规律，计算：…．
解：（1）根据差倒数定义可得：
①==，
②=4，
③．
④显然每三个循环一次，又2011÷3=670余1，故a2011和a1的值相等，∴a2011=，（2）…．
=﹣×（﹣）×（﹣）…（﹣），
=﹣．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网【老题重现】
求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高．
已知：△ABC中，AB=AC，点P是BC边上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，CD是AB边上的高线．
求证：PE+PF=CD
证明：连接AP，
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC
∴
AB×PE
2
+
AC×PF
2
=
AB×CD
2

∵AB=AC
∴PE+PF=CD

【变式应用】
请利用“类比”和“化归”两种方法解答下面问题：
求证：等边三角形内上任意一点到三边的距离和等于一边上的高．
已知：点P是等边△ABC内任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AH是BC边上的高线．精英家教网
求证：PD+PE+PF=AH
证明：
方法（一）类比：通过类比上题的思路和方法，模仿上题的“面积法”解决本题．
连接AP，BP，CP
方法（二）化归：如图，通过MN在等边△ABC中构造符合“老题”规律的等边△AMN，化“新题”为“老题”，直接利用“老题重现”的结论解决问题．
过点P作MN∥BC，交AB于M，交AC于N，交AH于G．

【提炼运用】
已知：点P是等边△ABC内任意一点，设到三边的距离分别为a、b、c，且使得以a、b、c为边能够构成三角形．
请在图中画出满足条件的点P一切可能的位置，并对这些位置加以说明．
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①如图（1），直线l上有2个点，有1条线段；
②如图（2），直线l上有3个点，有
3
3
条线段；
③如图（3），请你画出直线l上4个点，数一数有
6
6
条线段；
④如图（4），直线上有n（n为大于1的正整数）个点，则图中有
n(n-1)
2
n(n-1)
2
条线段；
⑤应用④中发现的规律解决问题：某校初一年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需
15
15
场比赛．
应用规律，解决问题
（1）．定义：a为不等于1的有理数，我们把
1
1-a
称为a的差倒数，如：2的差倒数是
1
1-2
=
1
-1
=-1，-1的差倒数是
1
1-(-1)
=
1
2
，已知a1=-
1
3
，
①a2是a1的差倒数，则a2=
3
4
3
4
．
②a3是a2的差倒数，则a3=
4
4
．
③a4是a3的差倒数，则a4=
-
1
3
-
1
3
．
④以此类推，a2011=
-
1
3
-
1
3
．
（2）．我们知道：
1
2
×
2
3
=
1
3
，
1
2
×
2
3
×
3
4
=
1
4
，…，
1
2
×
2
3
×
3
4
×…×
n
n+1
=
1
n+1
，试根据上面规律，
计算：(
1
19
-1)(
1
20
-1)(
1
21
-1)…(
1
2011
-1)．

应用规律，解决问题
（1）．定义：a为不等于1的有理数，我们把数学公式称为a的差倒数，如：2的差倒数是数学公式，-1的差倒数是数学公式，已知数学公式，
①a2是a1的差倒数，则a2=______．
②a3是a2的差倒数，则a3=______．
③a4是a3的差倒数，则a4=______．
④以此类推，a2011=______．
（2）．我们知道：数学公式，…，数学公式…×数学公式，试根据上面规律，
计算：数学公式…数学公式．

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