题目内容

应用规律，解决问题
（1）．定义：a为不等于1的有理数，我们把 $数学公式$ 称为a的差倒数，如：2的差倒数是 $数学公式$ ，-1的差倒数是 $数学公式$ ，已知 $数学公式$ ，
①a₂是a₁的差倒数，则a₂=．
②a₃是a₂的差倒数，则a₃=．
③a₄是a₃的差倒数，则a₄=．
④以此类推，a₂₀₁₁=．
（2）．我们知道： $数学公式$ ，…， $数学公式$ …× $数学公式$ ，试根据上面规律，
计算： $数学公式$ … $数学公式$ ．

解：（1）根据差倒数定义可得：① $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
② $\text{[math]}$ =4，
③ $\text{[math]}$ ．
④显然每三个循环一次，又2011÷3=670余1，故a₂₀₁₁和a₁的值相等，
∴a₂₀₁₁=- $\text{[math]}$ ，
（2） $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ ．
=- $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ ）×（- $\text{[math]}$ ）…（- $\text{[math]}$ ），
=- $\text{[math]}$ ．
故答案为：① $\text{[math]}$ ，②4，③- $\text{[math]}$ ，④ $\text{[math]}$ ，
分析：（1）理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可．
（2）利用 $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ …× $\text{[math]}$ 规律得出答案即可．
点评：此题主要考查了数字规律，此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律．

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【老题重现】
求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高．
已知：△ABC中，AB=AC，点P是BC边上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，CD是AB边上的高线．
求证：PE+PF=CD
证明：连接AP，
∵S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC
∴

∵AB=AC
∴PE+PF=CD

【变式应用】
请利用“类比”和“化归”两种方法解答下面问题：
求证：等边三角形内上任意一点到三边的距离和等于一边上的高．
已知：点P是等边△ABC内任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AH是BC边上的高线．

求证：PD+PE+PF=AH
证明：
方法（一）类比：通过类比上题的思路和方法，模仿上题的“面积法”解决本题．
连接AP，BP，CP
方法（二）化归：如图，通过MN在等边△ABC中构造符合“老题”规律的等边△AMN，化“新题”为“老题”，直接利用“老题重现”的结论解决问题．
过点P作MN∥BC，交AB于M，交AC于N，交AH于G．

【提炼运用】
已知：点P是等边△ABC内任意一点，设到三边的距离分别为a、b、c，且使得以a、b、c为边能够构成三角形．
请在图中画出满足条件的点P一切可能的位置，并对这些位置加以说明．

①如图（1），直线l上有2个点，有1条线段；
②如图（2），直线l上有3个点，有

条线段；
③如图（3），请你画出直线l上4个点，数一数有

条线段；
④如图（4），直线上有n（n为大于1的正整数）个点，则图中有

条线段；
⑤应用④中发现的规律解决问题：某校初一年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需

应用规律，解决问题
（1）．定义：a为不等于1的有理数，我们把

称为a的差倒数，如：2的差倒数是

=-1，-1的差倒数是

，
①a₂是a₁的差倒数，则a₂=

．
②a₃是a₂的差倒数，则a₃=

．
③a₄是a₃的差倒数，则a₄=

．
④以此类推，a₂₀₁₁=

．
（2）．我们知道：

，试根据上面规律，
计算：(

应用规律，解决问题
（1）定义：a为不等于1的有理数，我们把

称为a的差倒数，如：2的差倒数是

，﹣1的差倒数是

，
①a₂是a₁的差倒数，则a₂=_________．
②a₃是a₂的差倒数，则a₃=_________．
③a₄是a₃的差倒数，则a₄=_________．
④以此类推，a₂₀₁₁=_________．
（2）我们知道：

，试根据上面规律，计算：