Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是弧BC的中点，PD切⊙O于点D
（1）求证：DP⊥AP；
（2）若PD=

3

，PC=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接BC、OD，则可判断OD∥AP，再由切线的性质可得∠OPD=90°，继而得出结论；
（2）连接OC、CD，由题意可得∠PDC=30°，

解答：解：（1）连接BC、OD，则∠ACB=90°（圆周角定理），
∵点D是弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴OD∥AP，
又∵PD是⊙O切线，
∴∠OPD=90°，
∴∠P=90°，
∴DP⊥AP．

（2）连接OC、CD，
∵PD=

3

，PC=1，
∴∠PDC=

PC

PD

=

3

3

，CD=

PC2+PD2

=2，
∴∠PDC=30°，
∴∠CDO=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠DOB=∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴AO=OC=AC=OD=CD=2，
则S_阴影=S_梯形ODPA-S_△OCA-S_扇形OCD=

1

2

×（OD+AP）×PD-

3

-

60π×22

360

=

5 3

2

-

3

-

2

3

π=

3 3

2

-

2

3

π．

点评：本题考查了切线的性质、垂径定理、扇形的面积计算及等边三角形的面积，综合考察的知识点较多，注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通．