Question

【题目】如图，抛物线的图象经过点，，，已知点的坐标为，点坐标为，点在轴的正半轴，且．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）若直线从点开始沿轴向下平移，分别交轴、轴于点、．

①当时，在线段上否存在点，使得点，，构成等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

②以动直线为对称轴，线段关于直线的对称线段与二次函数图象有交点，请直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）①点P的坐标是（，）或（36，3）或（，）； ②．

【解析】

（1）如图1，连结AC．在Rt△AOC中，∠CAB=30°，根据三角函数可得C（0，），根据待定系数法可求抛物线解析式；

（2）①由题意可知，OE=m，OD，∠DEO=30°，根据等腰直角三角形的判定与性质分三种情况：

（i）如图2，当PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x轴；

（ii）如图3，当PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y轴；

（iii）如图4，当DP⊥DE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC；进行讨论可求点P的坐标；

②动直线l与直线AC的交点为C和动直线l与y轴的交点在x轴下面，并且与前面的直线平行，可求m的取值范围．

（1）如图1，连结AC．在Rt△AOC中，∠CAB=30°．

∵A（﹣3，0），即OA=3，

∴OC，即C（0，），

设抛物线解析式为，

将A（﹣3，0），B（1，0）代入得．

解得，

∴；

（2）①由题意可知，OE=m，OD，∠DEO=30°，

由A（﹣3，0），C（0，）得到直线AC的解析式为：yx

（i）如图2，当PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x轴，

∴∠PQD=∠EOD=90°，∠PDQ+∠EDO=90°，∠EDO+∠DEO=90°，∴∠DEO=∠PDQ=30°，

在△DPQ与△EDO中，

，

∴△DPQ≌△EDO（AAS），

∴DQ=OE=m．

∵∠PAQ=∠PDQ=30°，

∴PA=PD，

∴AQ=DQ=m，

∴OA=2m3，

∴；

此时P（，）

（ii）如图3，当PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y轴，

同理可得CQ=EQ=OD，

∵OC=m，

∴；

此时P（36，3）

（iii）如图4，当DP⊥PE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC，

同理可得AP=AD，PN=DM，CN，

∴AC，

∴；

此时P（，）．

综上所述：点P的坐标是（，）或（36，3）或

（，）．

②当x=0，y时，0+m，解得：m；

当x=0，y时，0+m，解得：m．

故m的取值范围为：．