Question

直线y=-

4

3

x+4与x，y轴交于A，B两点，在坐标平面上有一点P，⊙P的半径为6．
（1）求A，B两点坐标．
（2）若点P在直线y=-

4

3

x+4上，且与x轴相切，求点P坐标．
（3）若⊙P与x轴和直线y=-

4

3

x+4都相切，求点P坐标．

Answer 1

分析：（1）已知直线解析式，易求A，B点坐标；
（2）由题意知点P在坐标轴上，说的很模糊，所以要分类讨论，再根据圆的性质及相切的条件，又知道圆的半径，从而求出每种情况的P点坐标；
（3）分P有四种情况，根据勾股定理求得P到选、轴的距离即可求得P的横坐标，则P的坐标可以求得．

解答：解：（1）当x=0时，y=4，
当y=0时，-

4

3

x+4=0，解得x=3．
故A（3，0），B（0，4）；

（2）在y=-

4

3

x+4中当y=6时，-

4

3

x+4=6，解得：x=-

3

2

，则P的坐标是：（-

3

2

，6）；
在y=-

4

3

x+4中当y=-6时，-

4

3

x+4=-6，解得：x=

15

2

，则P的坐标是（

15

2

，-6）；

（3）当P的位置如①时，
连接P与切点E，F，则PE⊥x轴，PF⊥AB，作PG∥x轴，交AB于点G，作GH⊥x轴于H．则PE=PF=GH=6，
在直角△AHG和直角△PFG中，

GH

AH

=

PF

FG

=

4

3

，
∴AH=GF=

9

2

，
∴OH=AH-OA=

9

2

-3=

3

2

，即H的坐标是（-

3

2

，0），
PG=

PF2+FG2

=

62+( 9 2 )2

=

15

2

，
∴OE=OH+EH=OH+PG=

3

2

+

15

2

=9，则P的坐标是：（-9，6）；

当P的位置如图②所示时，同①可以得到：AH=GF=

9

2

，PG=

PF2+FG2

=

62+( 9 2 )2

=

15

2

，
∴OH=AH-OA=

9

2

-3=

3

2

，
∴OE=PG-OH=

15

2

-

3

2

=6，
则P的坐标是（6，6）；

当P的位置如图③时，同①可得：AH=

9

2

，PG=

15

2

则OH=OA+AH=3+

9

2

=

15

2

，
∴OE=OH-EH=OH-PG=

15

2

-

15

2

=0，则P的坐标是（0，-6）；

当P如图④所示时，
AH=

9

2

，GP=HE=

15

2

，
∴OE=OA+AH+HE=3+

9

2

+

15

2

=15，
则P的坐标是（15，-6）．
总之，P的坐标是：（-9，6）或（6，6）或（0，-6）或（15，-6）．

点评：本题考查了一次函数与圆的切线的性质，勾股定理的综合应用，正确分情况讨论是关键．