题目内容
如图，直线y=-
x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．有两动点C、D同时从点O出发，其中点C以每秒
个单位长度的速度沿折线OAB按O→A→B的路线运动，点D以每秒4个单位长度的速度沿折线OBA按O→B→A的路线运动，当C、D两点相遇时，它们都停止运动．设C、D同时从点O出发t秒时，△OCD的面积为S．
（1）请问C、D两点在运动过程中，是否存在CD∥OB？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（2）请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）设S0是（2）中函数S的最大值，那么S0=
．
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
（1）请问C、D两点在运动过程中，是否存在CD∥OB？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（2）请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）设S0是（2）中函数S的最大值，那么S0=
| 243 |
| 80 |
| 243 |
| 80 |
分析：（1）如果CD∥OB，此时点C，D应分别在线段OA，AB上，先求出这个区间t的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时t的值，然后看t的值是否符合此种情况下t的取值范围．如果符合则这个t的值就是所求的值，如果不符合，那么就说明不存在这样的t；
（2）本题要分三种情况进行讨论：当D在OD上，C在OA上，即当0＜t≤1时，此时S=
OC•OD，由此可得出关于S，t的函数关系式；当D在AB上，C在OA上，即当1＜t≤2时，此时S=
OC×D点的纵坐标．由此可得出关于S，t的函数关系式；当C，D都在AB上时，即当2＜t＜
相遇时用的时间，此时S=S△AOD-S△AOC，由此可得出S，t的函数关系式；综上所述，可得出不同的t的取值范围内，函数的不同表达式；
（3）根据（2）的函数即可得出S的最大值．
（2）本题要分三种情况进行讨论：当D在OD上，C在OA上，即当0＜t≤1时，此时S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| 11 |
（3）根据（2）的函数即可得出S的最大值．
解答：
解：（1）不存在CD∥OB，理由为：
若CD∥OB，则点C，D应分别在线段OA，AB上，此时1＜t＜2，在Rt△AOB中，AB=5，
设点D的坐标为（x1，y1），
∴
=
，
∴|x1|=
（4t-4）=
，
∵CD∥OB，
∴
=
t，
∴t=
，
∵t=
＞2，不满足1＜t＜2，
∴不存在CD∥OB；
（2）根据题意得D，C两点相遇的时间为
=
（秒），
现分情况讨论如下：
（ⅰ）当0＜t≤1时，S=
×
t•4t=3t2；
（ⅱ）当1＜t≤2时，设点D的坐标为（x2，y2），
∴
=
，即|y2|=
，
∴S=
×
t×
=-
t2+
t；
（ⅲ）当2＜t＜
时，
设点D的坐标为（x3，y3），类似（ⅱ）可得|y3|=
，
设点C的坐标为（x4，y4），∴
=
，即|y4|=
，
∴S=S△AOD-S△AOC=
×3×
-
×3×
=-
t+
；
（3）当0＜t≤1时，S=3t2，函数的最大值是3；
当1＜t≤2时，S=-
t2+
t．函数的最大值是
，
当2＜t＜
时，S=-
t+
，0＜S＜
，
∴S0=
．
故答案为：（3）
解：（1）不存在CD∥OB，理由为：若CD∥OB，则点C，D应分别在线段OA，AB上，此时1＜t＜2，在Rt△AOB中，AB=5，
设点D的坐标为（x1，y1），
∴
| |x1| |
| 3 |
| 4t-4 |
| 5 |
∴|x1|=
| 3 |
| 5 |
| 12t-12 |
| 5 |
∵CD∥OB，
∴
| 12t-12 |
| 5 |
| 3 |
| 2 |
∴t=
| 8 |
| 3 |
∵t=
| 8 |
| 3 |
∴不存在CD∥OB；
（2）根据题意得D，C两点相遇的时间为
| 3+4+5 | ||
|
| 24 |
| 11 |
现分情况讨论如下：
（ⅰ）当0＜t≤1时，S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（ⅱ）当1＜t≤2时，设点D的坐标为（x2，y2），
∴
| |y2| |
| 4 |
| 5-(4t-4) |
| 5 |
| 36t-16 |
| 5 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 36t-16 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
| 27 |
| 5 |
（ⅲ）当2＜t＜
| 24 |
| 11 |
设点D的坐标为（x3，y3），类似（ⅱ）可得|y3|=
| 36-16t |
| 5 |
设点C的坐标为（x4，y4），∴
| |y4| |
| 4 |
| ||
| 5 |
| 6t-12 |
| 5 |
∴S=S△AOD-S△AOC=
| 1 |
| 2 |
| 36-16t |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 6t-12 |
| 5 |
| 33 |
| 5 |
| 72 |
| 5 |
（3）当0＜t≤1时，S=3t2，函数的最大值是3；
当1＜t≤2时，S=-
| 12 |
| 5 |
| 27 |
| 5 |
| 243 |
| 80 |
当2＜t＜
| 24 |
| 11 |
| 33 |
| 5 |
| 72 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
∴S0=
| 243 |
| 80 |
故答案为：（3）
| 243 |
| 80 |
点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形性质，平行线的性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，灵活运用分类讨论及数形结合思想是解本题的关键．
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