Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝4，∠D＝30°，点E是BC边的中点，F是射线BA上一动点，将△BEF沿直线EF折叠，得到△PEF，连接PC，当△PCE为等边三角形时，BF的长为_____．

Answer 1

【答案】3或6

【解析】

分两种情况：当P点在EC的上方和下方时，由等边三角形的性质与直角三角形的性质分别求出BF的值即可．

当点P在EC的上方时，如图1，

则EF⊥BP，BE＝PE，

∴∠PBE＝∠BPE，

∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝30°，

∴∠ABC＝∠D＝30°，

∵△PCE是等边三角形，

∴∠PEC＝60°，

∵∠PEC＝∠PBE+∠BPE，

∴∠PBE＝30°，

∴∠ABC＝∠PBC＝30°，

∴B、F、A、P在同一直线上，

∴BF＝BEcos30°＝=3.

当点P在CE下方P′处时，如图2，连接BP′，

则EF′⊥BP′，BE＝EP′，

∵△P′CE是等边三角形，

∴∠P′EC＝60°，

∵∠P′EC＝∠P′BE+∠BP′E，

∴∠P′BE＝30°，

∴BQ＝BEcos30°＝2=3，

∠ABP′＝60°，

∴BF′＝=6，

故答案为：3或6．