Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=10，AD=6，BC=18，M是CD的中点，P是BC边上的一动点（P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q。
（1）当P在B，C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？请说明理由；
（2）当四边形ABPQ是直角梯形时，点P与C距离是多少？

Answer 1

（1）解：当CP=6时，四边形ABPQ是平行四边形．理由：
∵AD∥BC，
∴∠C=∠CDQ，∠QPC=∠Q，
∵CM=DM
∴△CMP≌△DMQ，
∴PC=DQ=6，而BP=BC﹣PC=18﹣6=12，AQ=AD+DQ=6+6=12，
∴BP=AQ，
∵AD∥BC，
∴四边形ABPQ是平行四边形；
（2）解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
由于AB=CD，∠B=∠C，∠AEB=∠DFC=90°，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=FC，由于AE∥DF，AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD=EF，
∴，
∴，
由（1）知：QM=MP，
∴MP=4，
∴，
答：当四边形ABPQ是直角梯形时，点P与C距离是3。