Question

如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则

QC

QA

的值为（　　）

• A、2

  3

  -1
• B、2

  3

• C、

  3

  +

  2

• D、

  3

  +2

Answer 1

分析：设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r-m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．

解答：解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，
QA=r-m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC=QP•QD．
即（r-m）（r+m）=m•QD，所以QD=

r2-m2

m

．
连接DO，由勾股定理，得QD²=DO²+QO²，
即(

r2-m2

m

)2=r2+m2，
解得m=

3

3

r
所以，

QC

QA

=

r+m

r-m

=

3 +1

3 -1

=

3

+2
故选D．

点评：本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．