题目内容

如图，直线y=kx+b与反比例函数y= $数学公式$ （x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，过B作BD⊥x轴，且S_△OBD=4，其中点A的坐标为（n，4），点B的坐标为（-4，m）
（1）试确定反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOB的面积；
（3）利用函数图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．

解：（1）∵S_△OBD=4，
∴xy=-8，即k=-8，
∴反比例函数的解析式为：y=- $\text{[math]}$ ，
将A和B点的坐标代入反比例函数，可得：m=-2，n=2．
∵点A（-2，4）、点B（-4，2）在直线y=kx+b上，
∴4=-2k+b，
2=-4k+b，
解得k=1．
b=6．
∴直线AB为y=x+6．
∴反比例函数解析式为y= $\text{[math]}$ ，一次函数的关系式为：y=x+6．

（2）∵直线AB与x轴的交点坐标C（-6，0），
∴S_△AOC= $\text{[math]}$ CO•y_A= $\text{[math]}$ ×6×4=12．
又S_△BOC= $\text{[math]}$ CO•y_B= $\text{[math]}$ ×6×2=6．
∴S_△AOB=S_△AOC-S_△BOC=6．

（3）当-4＜x＜-2时，一次函数的值大于反比例函数的值．
分析：（1）根据S_△OBD=4，可求出k的值，继而求出反比例函数的解析式，将A和B点的坐标代入反比例函数可求出m和n的值，从而求出反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求出直线与x轴的交点坐标后，即可求出S_△AOC= $\text{[math]}$ CO•yA和S_△BOC= $\text{[math]}$ CO•yB．继而求出△AOB的面积．
（3）一次函数的图象在反比例函数图象的下方时自变量的取值即为答案．
点评：主要考查了用待定系数法求函数解析式和反比例函数 $\text{[math]}$ 中k的几何意义，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S= $\text{[math]}$ |k|．