Question

9．如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC，连接DF、EG．
（1）求证：AB=AC．
（2）已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由切线长定理可知AD=AE，易得∠ADE=∠AED，因为DE∥BC，由平行线的性质得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，可得∠B=∠C，易得AB=AC；
（2）如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设⊙O半径为r，由△AOD∽△ABN得$\frac{OD}{BN}$=$\frac{AD}{AN}$，得到AD=$\frac{4}{3}$r，再由△GBD∽△ABN得$\frac{BD}{BN}$=$\frac{GD}{AN}$，列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AD、AE是⊙O的切线，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；

（2）解：如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设⊙O半径为r，

∵四边形DFGE是矩形，
∴∠DFG=90°，
∴DG是⊙O直径，
∵⊙O与AB、AC分别相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∵OD=OE，OE⊥AC，
∵OD=OE．
∴AN平分∠BAC，∵AB=AC，
∴AN⊥BC，BN=$\frac{1}{2}$BC=6，
在RT△ABN中，AN=$\sqrt{A{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵OD⊥AB，AN⊥BC，
∴∠ADO=∠ANB=90°，
∵∠OAD=∠BAN，
∴△AOD∽△ABN，
∴$\frac{OD}{BN}$=$\frac{AD}{AN}$，即$\frac{r}{6}$=$\frac{AD}{8}$，
∴AD=$\frac{4}{3}$r，
∴BD=AB-AD=10-$\frac{4}{3}$r，
∵OD⊥AB，
∴∠GDB=∠ANB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△GBD∽△ABN，
∴$\frac{BD}{BN}$=$\frac{GD}{AN}$，即$\frac{10-\frac{4}{3}r}{6}$=$\frac{2r}{8}$，
∴r=$\frac{60}{17}$，
∴四边形DFGE是矩形时⊙O的半径为$\frac{60}{17}$．

点评 本题考查圆、切线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用参数解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．