Question

【题目】在中，，．

（1）如图1，若，，求的面积．

（2）如图2，若为线段上任意一点，探究，，三者之间的关系，并证明．

（3）如图3，若，为内一点，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）．

【解析】

（1）根据，可得，即可求解．

（2）将△ABD绕点A逆时针旋转90°，点B对应点C，点D对应点，由旋转的性质和勾股定理可得，即，即可得证．

（3）将△BDC绕点B顺时针旋转60°，得到△，连接，连接交BC于点E，通过等边三角形的性质和旋转的性质可得当时，有最小值，根据勾股定理求解即可．

（1）∵，

∴

∵，

∴．

（2）

将△ABD绕点A逆时针旋转90°，点B对应点C，点D对应点

由旋转的性质得

∴

∴在Rt△中，

∵在Rt△中，

∴

∴

即．

（3）将△BDC绕点B顺时针旋转60°，得到△，连接，连接交BC于点E

∵

∴为等边三角形

∴

∵

∴

∴的最小值为的最小值

故当时，有最小值

∵

∴△ABC是等腰直角三角形

∵

∴

即，

即

∴的最小值为．