Question

15．如图，
（1）△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A₁B₁D₁E₁（D₁、E₁在AB上，A₁、B₁分别在AC、BC上），再在△A₁B₁C内用同样的方法作第2个内接正方形A₂B₂D₂E₂，…如此下去，操作n次，则第一个内接正方形的边长是1，第n个小正方形A_nB_nD_nE_n 的边长是$\frac{1}{{3}^{（n-1）}}$．
（2）在△ABC中，BC=12，高AD=8，四边形PQMN为△ABC的内接矩形，（P在AB上，Q在AC上，M、N在BC上），
①求当PQ为何值时，矩形PQMN面积最大．
②若再在△APQ中作一个内接矩形P₂Q₂M₂N₂，如此下去，操作n次，求PnQn的长．（直接写出结果）
（3）解完上述两题，根据其中一题你还能归纳出怎样的数学结论，请简单的写出一条．

Answer 1

分析 （1）求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形A_nB_nD_nE_n 的边长．
（2）设PQ=x，矩形PQMN面积为y，则根据△APQ∽△ABC的性质得到PN的长度，然后由矩形的面积公式列出y关于x的二次函数关系，所以根据二次函数最值的求法进行解答；
②利用（1）的解题过程写出规律；
（3）根据（1）、（2）总结出规律即可．

解答 解：（1）∵∠A=∠B=45°，
∴AE₁=A₁E=A₁B₁=B₁D₁=D₁B，
∴第一个内接正方形的边长=$\frac{1}{3}$AB=1．
同理可得：
第二个内接正方形的边长=$\frac{1}{3}$A₁B₁=$\frac{1}{9}$AB=$\frac{1}{3}$，
第三个内接正方形的边长=$\frac{1}{3}$A₂B₂=$\frac{1}{27}$AB=$\frac{1}{9}$，
…
故可推出第n个小正方形A_nB_nD_nE_n 的边长=$\frac{1}{{3}^{n}}$AB=$\frac{1}{{3}^{（n-1）}}$．
故答案为：1；$\frac{1}{{3}^{（n-1）}}$．

（2）①设PQ=x，矩形PQMN面积为y，AD交PQ于点E，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{PQ}{AB}$，即$\frac{8-PN}{8}$=$\frac{x}{12}$，
∴PN=8-$\frac{2}{3}$x．
则y=PQ•PN=x•（8-$\frac{2}{3}$x）=-$\frac{2}{3}$（x-6）²+24．
∵-$\frac{2}{3}$＜0，
∴该抛物线的开口方向向下，
故当PQ=6时，矩形PQMN面积最大；
②由①知，PQ=$\frac{12}{2}$，
同理：P₁Q₁=$\frac{12}{{2}^{2}}$，
P₂Q₂=$\frac{12}{{2}^{3}}$，
…
PnQn=$\frac{12}{{2}^{n}}$．

（3）根据（1）的解题过程可以得到结论：第n个小正方形A_nB_nD_nE_n 的面积是 $\frac{1}{{3}^{2（n-1）}}$．
根据（2）的解题过程可以得到：再在△APQ中作一个内接矩形P₂Q₂M₂N₂，如此下去，操作n次，PnQn的长为$\frac{12}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了相似综合题．解题时涉及到了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律．