Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的负半轴相交于点C（如图），点C的坐标为（0，﹣3），且BO＝CO．

（1）求出B点坐标和这个二次函数的解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）S△ABC＝6；（3）AM＝2．

【解析】

（1）首先根据BO＝CO，可得B点的坐标为（3，0），然后把B，C点坐标分别代入解析式可得b，c的值，即可得解析式；

（2）令y＝0，求出A点的坐标，即可根据图象求出△ABC的面积为×AB×OC；

（3）解析式化成顶点式，求得顶点M的坐标，过M作x轴的垂线MD，垂足为D，连接AM，则MD＝4，AD＝2，利用勾股定理即可求得AM的长．

（1）∵点C的坐标为（0，﹣3）

∴CO＝|﹣3|＝3

∵BO＝CO

∴BO＝3

∴B（3，0），

分别把B（3，0），C （0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得，

解得

∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0

解得x1＝﹣1，x2＝3

∴AB＝4，

∵点C的坐标为（0，﹣3）

∴CO＝|﹣3|＝3，

∴S△ABC ＝×AB×CO＝×4×3＝6；

（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2+4，

∴顶点M（1，﹣4），

过 M作x轴的垂线MD，垂足为D，连接AM，

则MD＝4，AD＝2，

∴AM＝＝＝2．