Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．

（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；

（2）求△AOB的面积；

（3）Q是反比例函数y＝（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO

        半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB．

 

Answer 1

解：（1）点P在线段AB上，理由如下：

        ∵点O在⊙P上，且∠AOB＝90°

∴AB是⊙P的直径

∴点P在线段AB上．

（2）过点P作PP₁⊥x轴，PP₂⊥y轴，由题意可知PP₁、PP₂

是△AOB的中位线，故S_△AOB＝OA×OB＝×2 PP₁×PP₂

     ∵P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的任意一点

∴S_△AOB＝OA×OB＝×2 PP₁×2PP₂＝2 PP₁×PP₂＝12．

（3）如图，连接MN，则MN过点Q，且S_△MON＝S_△AOB＝12．

∴OA·OB＝OM·ON

∴

∵∠AON＝∠MOB

∴△AON∽△MOB

∴∠OAN＝∠OMB

∴AN∥MB．