如图.在正方形ABCD中.对角线AC与BD相交于点O.点E是BC上一个动点.连接DE交AC于F．(1)如图①.当$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{3}$时.求$\frac{{S} {△CEF}}{{S} {△CDF}}$的值,(2)如图②.当DE平分∠CDB时.求证:AF=$\sqrt{2}$OA,(3)如图③.当E是BC中点时.过F作FG⊥BC于G.试猜� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上一个动点，连接DE交AC于F．
（1）如图①，当$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{3}$时，求$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CDF}}$的值；
（2）如图②，当DE平分∠CDB时，求证：AF=$\sqrt{2}$OA；
（3）如图③，当E是BC中点时，过F作FG⊥BC于G，试猜想CG与BG之间的数量关系，并说明理由．

分析（1）利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；
（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以证得；
（3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得．

解答（1）解：如图①，∵$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{1}{4}$．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{CE}{AD}$，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{CE}{BC}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CDF}}$=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{1}{4}$；

（2）证明：如图②，∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．
∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，
在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$OA，
∴AF=$\sqrt{2}$OA．

（3）CG=$\frac{1}{2}$BG．理由如下：
如图③，连接OE．
∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点．
∴点O是BD的中点．
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，OE=$\frac{1}{2}$CD，
∴△OFE∽△CFD．
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{OE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，
∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴$\frac{GF}{CD}$=$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．
∴CG=GF，
又∵CD=BC，
∴$\frac{GF}{CD}$=$\frac{CG}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CG}{BG}$=$\frac{1}{2}$．
∴CG=$\frac{1}{2}$BG．