Question

在△ABC中，∠C=90°，斜边AB=10，直角边AC、BC的长分别是关于x的方程x²-mx+3m+6=0的两个实根，则sinA+sinB+sinA•sinB=________．

Answer 1

分析：根据一元二次方程根与系数的关系得到AC+BC=m，AC•BC=3m+6，再利用勾股定理得AC²+BC²=AB²=100，变形后有（AC+BC）²-2AC•BC=100，可得到m的方程m²-2（3m+6）=100，然后解方程得到得m₁=14，m₂=-8（舍去），则AC+BC=14，AC•BC=3m+6=48，再根据三角函数的定义得到sinA=，sinB=，则sinA+sinB+sinA•sinB=+，然后整体代入计算即可．
解答：如图，
∵AC、BC的长分别是关于x的方程x²-mx+3m+6=0的两个实根，
∴AC+BC=m，AC•BC=3m+6，
而AC²+BC²=AB²=100，
∴（AC+BC）²-2AC•BC=100，即m²-2（3m+6）=100，解得m₁=14，m₂=-8（舍去）．
∴AC+BC=14，AC•BC=3m+6=48，
∵sinA=，sinB=，
∴sinA+sinB+sinA•sinB=+=+=．
故答案为．
点评：本题考查了解直角三角形：利用三角函数的定义和勾股定理求出三角形中未知的角和边．也考查了一元二次方程根与系数的关系．