Question

已知：如图，二次函数y=ax²﹣2ax+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）写出该二次函数的对称轴和顶点坐标；
（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（4）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点C（0，4），
∴c=4，
∵点A的坐标为（4，0），
∴0=16a﹣8a+4，
∴a=﹣，
∴y=﹣x²+x+4；
（2）y=﹣x²+x+4=﹣（x²﹣2x）+4，
=﹣[（x²﹣2x+1）﹣1]+4，
=﹣（x﹣1）2+5，
∴该二次函数的对称轴为：直线x=1，顶点坐标为：（1，5）；
（3）∵二次函数的对称轴为：直线x=1，点A的坐标为（4，0），
∴B（﹣2，0，），AB=6，
S_△ABC=×6×4=12，
设BQ=x，
∵EQ∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴（）²==（）²，
∴S_△BEQ=×12=x²，
∴S_△CQE=x×4﹣x2=﹣x²+2x，当x=﹣==3时，S_△CQE面积最大，
∴Q点坐标为（1，0）；
（4）存在，
在△ODF中，
①若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
又∵在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，此时，点F的坐标为：（2，2），
由﹣x²+x+4=2，
解得：x₁=1+，x₂=1﹣，
此时，点P的坐标为：P（1+，2）或P（1﹣，2）；
②若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M，
由等腰三角形的性质得出：OM=OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰三角形△AMF中，MF=MA=3，
∴F（1，3），
由﹣x²+x+4=3，
解得：x₁=1+，x₂=1﹣，
此时，点P的坐标为：P（1+，3）或P（1﹣，3）；
③若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4，
∴点O到AC的距离为2，而OF=OD=2＜2，
∴此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
综上所述：存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为：P（1+，2）或P（1﹣，2）或P（1+，3）或P（1﹣，3）．