题目内容

已知：如图，二次函数y=x2-4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的精英家教网左边），与y轴交于点C．直线x=m（m＞2）与x轴交于点D．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）在直线x=m（m＞2）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=x2-4上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．
分析：（1）把x=0，y=0分别代入求出y、x即可；
（2）设P（m，y），根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出y即可；
（3）根据平行四边形的性质得到PQ=AB=4，求出Q的坐标，代入抛物线的解析式，求出m即可．
解答：精英家教网解：（1）y=x2-4，
x=0时，y=-4，
y=0时，x=±2，
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，-4），
答：A、B、C三点的坐标分别是（-2，0），（2，0），（0，-4）．

（2）设P（m，y），
∵以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，
∠PDB=∠BOC=90°，BD=m-2，DP=y，OD=4，OB=2，
只要
PD
OB
=
BD
OD
或
PD
OD
=
BD
OB
就行，
代入得：
y
2
=
m-2
4
或 
y
4
=
m-2
2
，
解得：y=
1
2
m-1，y=2m-4
∴P（m，
1
2
m-1），（m，2m-4），
答：P的坐标是（m，
1
2
m-1），（m，2m-4）．

（3）∵平行四边形ABPQ，精英家教网
∴PQ=AB=4，
则Q的坐标是（m-4，
1
2
m-1）或（m-4，2m-4），
代入y=x2-4得：
1
2
m-1=（m-4）2-4或2m-4=（m-4）2-4，
解得：m1=6.5＞4，m2=2＜4（舍去），m3=2＜4（舍去），m4=8＞4，
答：抛物线y=x2-4上存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形，m的值是6.5或8．
点评：此题主要考查了对二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
练习册系列答案
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3
3
x+
3
对称．
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2
3
x2-
4
3
x-
16
3
的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为Q，直线QB与y轴交于点E．
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