Question

已知：如图，二次函数y=ax²-2ax+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）写出该二次函数的对称轴和顶点坐标；
（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（4）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据A，C两点坐标，利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据配方法求出二次函数的顶点坐标和对称轴即可；
（3）利用相似三角形的性质得出S_△CQE=

1

2

x×4-

1

3

x²=-

1

3

x²+2x，进而求出即可；
（4）利用图象以及等腰三角形的性质假设若DO=DF时以及当FO=FD和当DF=OD时分别得出F点的坐标，将纵坐标代入二次函数解析式即可求出P点坐标．

解答：解：（1）∵点C（0，4），
∴c=4，
∵点A的坐标为（4，0），
∴0=16a-8a+4，
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²+x+4；

（2）y=-

1

2

x²+x+4
=-

1

2

（x²-2x）+4，
=-

1

2

[（x²-2x+1）-1]+4，
=-

1

2

（x-1）²+

9

2

，
∴该二次函数的对称轴为：直线x=1，顶点坐标为：（1，

9

2

）；

（3）∵二次函数的对称轴为：直线x=1，点A的坐标为（4，0），
∴B（-2，0，），AB=6，
S_△ABC=

1

2

×6×4=12，
设BQ=x，
∵EQ∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴（

BQ

AB

）²=

S△BEQ

S△ABC

=（

x

6

）²，
∴S_△BEQ=

x2

36

×12=

1

3

x²，
∴S_△CQE=

1

2

x×4-

1

3

x²=-

1

3

x²+2x，
当x=-

b

2a

=

2

2× 1 3

=3时，S_△CQE面积最大，
∴Q点坐标为（1，0）；

（4）存在，
在△ODF中，
①若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
又∵在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，此时，点F的坐标为：（2，2），
由-

1

2

x²+x+4=2，
解得：x₁=1+

5

，x₂=1-

5

，
此时，点P的坐标为：P（1+

5

，2）或P（1-

5

，2）；
②若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M，
由等腰三角形的性质得出：
OM=

1

2

OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰三角形△AMF中，MF=MA=3，
∴F（1，3），
由-

1

2

x²+x+4=3，
解得：x₁=1+

3

，x₂=1-

3

，
此时，点P的坐标为：P（1+

3

，3）或P（1-

3

，3）；
③若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4

2

，
∴点O到AC的距离为2

2

，而OF=OD=2＜2

2

，
∴此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
综上所述：存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为：P（1+

5

，2）或P（1-

5

，2）或P（1+

3

，3）或P（1-

3

，3）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用和相似三角形的性质和等腰三角形的性质等知识，根据已知得出（

BQ

AB

）²=

S△BEQ

S△ABC

=（

x

6

）²以及分类讨论得出P点的坐标是解题关键．