Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为的中点．

（1）(4分)求证：BC与⊙O相切；

（2）(4分)当AD= ；∠CAD=30°时．求的长，

Answer 1

（1）证明：连接OD，则OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA

∵D为的中点

∴∠OAD=∠CAD

∴∠ODA=∠CAD

∴OD∥AC

又∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，即BC⊥OD

∴BC与⊙O相切。

（2）连接DE，则∠ADE=90°

∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，∴∠AOD=120°

在Rt△ADE中，易求AE=4，

∴⊙O的半径r=2

∴的长。