Question

18．若有理数a，b，c满足（a+2c-2）²+|4b-3c-4|+|$\frac{a}{2}$-4b-1|=0，试求a³ⁿ⁺¹b³ⁿ⁺²-c⁴ⁿ⁺²．

Answer 1

分析 根据非负数的性质得到$\left\{\begin{array}{l}{a+2c-2=0①}\\{4b-3c-4=0②}\\{\frac{a}{2}-4b-1=0③}\end{array}\right.$，再解方程组得到$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=\frac{1}{4}}\\{c=-1}\end{array}\right.$，所以a³ⁿ⁺¹b³ⁿ⁺²-c⁴ⁿ⁺²=4³ⁿ⁺¹•（$\frac{1}{4}$）³ⁿ⁺²-（-1）⁴ⁿ⁺²=（4×$\frac{1}{4}$）³ⁿ⁺¹•$\frac{1}{4}$-1，然后根据积的乘方进行计算．

解答 解：根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{a+2c-2=0①}\\{4b-3c-4=0②}\\{\frac{a}{2}-4b-1=0③}\end{array}\right.$，
②+③得$\frac{1}{2}$a-3c-5=0，
所以a=6c+10，
把a=6c+10代入①得6c+10+2c-2=0，、
解得c=-1，
所以a=-6+10=4，
把c=-1代入②得4b+3-4=0，
解得b=$\frac{1}{4}$，
所以方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=\frac{1}{4}}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
所以a³ⁿ⁺¹b³ⁿ⁺²-c⁴ⁿ⁺²=4³ⁿ⁺¹•（$\frac{1}{4}$）³ⁿ⁺²-（-1）⁴ⁿ⁺²
=（4×$\frac{1}{4}$）³ⁿ⁺¹•$\frac{1}{4}$-1
=$\frac{1}{4}$-1
=-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了解三元一次方程组：利用代入法或加减法，把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题．也考查了非负数的性质．