Question

（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．
（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3

2

，求AG，MN的长．

Answer 1

分析：（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．
（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．
（3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果．

解答：解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．
∴∠BAE=∠GAE．（1分）
同理，∠GAF=∠DAF．
∴∠EAF=

1

2

∠BAD=45°．（2分）

（2）MN²=ND²+DH²．（3分）
∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．
∴∠HAN=∠MAN．
又∵AM=AH，AN=AN，
∴△AMN≌△AHN．
∴MN=HN．（5分）
∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．
∴NH²=ND²+DH²．
∴MN²=ND²+DH²．（6分）

（3）由（1）知，BE=EG，DF=FG．
设AG=x，则CE=x-4，CF=x-6．
在Rt△CEF中，
∵CE²+CF²=EF²，
∴（x-4）²+（x-6）²=10²．
解这个方程，得x₁=12，x₂=-2（舍去负根）．
即AG=12．（8分）
在Rt△ABD中，
∴BD=

AB2+AD2

=

2AG2

=12

2

．
在（2）中，MN²=ND²+DH²，BM=DH，
∴MN²=ND²+BM²．（9分）
设MN=a，则a2=(12

2

-3

2

-a)2+(3

2

)2．
即a ²=（9

2

-a） ²+（3

2

） ²，
∴a=5

2

．即MN=5

2

．（10分）

点评：本题考查正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等．