Question

（2013•深圳）如图1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）．
（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？
（2）如图2，在（1）的条件下，函数y=

k

x

(k＞0)的图象与直线AB相交于C、D两点，若S△OCA=

1

8

S△OCD，求k的值．
（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0＜t＜10）．

Answer 1

分析：（1）由A（m，0），B（0，n），可以表示出OA=m，OB=n，由三角形的面积公式就可以求出结论；
（2）由（1）的结论可以求出点A点B的坐标，就可以求出直线AB的解析式，根据双曲线的对称性就可以求出S_△OCD=S_△OAC的值，再由三角形的面积公式就可以求出其值；
（3）根据平移的性质可以求得△O′C′D′∽△O′CD，再由相似三角形的性质就可以求出就可以求出S_{△O′C′D′}和S_△O′CD的面积关系，从而可以求出S与运动时间t之间的函数关系式．

解答：解：（1）∵A（m，0），B（0，n），
∴OA=m，OB=n．
∴S_△AOB=

mn

2

．
∵m+n=20，
∴n=20-m，
∴S_△AOB=

m(20-m)

2

=-

1

2

m²+10m=-

1

2

（m-10）²+50
∵a=-

1

2

＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴m=10时，S_最大=50；

（2）∵m=10，m+n=20，
∴n=10，
∴A（10，0），B（0，10），
设AB的解析式为y=kx+b，由图象，得

0=10k+b 10=b

，
解得：

k=-1 b=10

，
y=-x+10．
∵S△OCA=

1

8

S△OCD，
∴设S_△OCD=8a．则S_△OAC=a，
∴S_△OBD=S_△OAC=a，
∴S_△AOB=10a，
∴10a=50，
∴a=5，
∴S_△OAC=5，
∴

1

2

OA•y=5，
∴y=1．
1=-x+10，
x=9
∴C（9，1），
∴1=

k

9

，
∴k=9；

（3）∵C（9，1），
∴D（1，9）．
移动后重合的部分的面积是△O′C′D′，t秒后点O的坐标为O′（t，0），
O′A=10-t，O′E=10．
∵C′D′∥CD，
∴△O′C′D′∽△O′CD，
∴

O′D′

O′D

=

O′A

O′E

=

10-t

10

，
∴

S△O′C′D′

S△O′CD

=(

O′D′

O′D

)2=(

10-t

10

)2
S=40•(

10-t

10

)2，
∴S=

2

5

t2-8t+40（0＜t＜10）．

点评：本题考查了二次函数的最值的运用，反比例函数的图象的对称性的运用，相似三角形的相似比与面积之比的关系的运用，懂点问题直线问题的运用，解答时求出函数的解析式及交点坐标是解答本题的关键．