Question

1．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a＞b；③a-b+c＞0；④4ac-8a＞b²，其中正确的是①③（填序号）

Answer 1

分析 由开口向下能得出a＜0，抛物线与y轴交点在y轴正半轴可知c＞0，对称轴-1＜-$\frac{b}{2a}$＜0可知0＞b＞2a，从而能得出①成立②不成立；当x=-1时，函数图象在x轴上方可得知a-b+c＞0，即③成立；表示出抛物线的顶点坐标，由顶点的纵坐标＞2，可得出4ac-8a＜b²，即④不成立．结合上面结论即可得出只有①③成立．

解答 解：∵抛物线的开口朝下，
∴a＜0；
∵抛物线与y轴交点在y的正半轴，
∴c＞0；
∵抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$在-1到0之间，即-1＜-$\frac{b}{2a}$＜0，
∴0＞b＞2a，即②不成立；
∵c＞0，0＞b＞a，
∴abc＞0，即①成立；
∵当x=-1时，抛物线上的点在x轴上方，
∴有a-b+c＞0，即③成立；
由图可知，抛物线顶点（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）的纵坐标大于2，
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞2，
∵a＜0，
∴4ac-b²＜8a，
∴4ac-8a＜b²，④不成立．
故答案为：①③．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是结合图象逐条分析．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合图象上的点找出二次函数各系数间的关系是关键．