题目内容
已知a，b是正实数，| a+b |
| 2 |
| ab |
（1）由（
| a |
| b |
| a+b |
| 2 |
| ab |
（2）如图，在⊙O中，AB是直径，C是圆上异于点A和点B的点，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，连接AC，BC，设AD=a，BD=b，根据图说明
| a+b |
| 2 |
| ab |
分析：（1）由（
-
）2≥0，利用完全平方公式，即可证得
≥
是恒成立；
（2）首先证得Rt△ACD∽Rt△CBD，由相似三角形的对应边成比例，可求得CD的值，又由OC是半径，可求得OC=
，然后由点到线的距离垂线段最短，即可证得
≥
是恒成立．
| a |
| b |
| a+b |
| 2 |
| ab |
（2）首先证得Rt△ACD∽Rt△CBD，由相似三角形的对应边成比例，可求得CD的值，又由OC是半径，可求得OC=
| a+b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
| ab |
解答：解：（1）∵（
-
）2≥0，
∴a-2
+b≥0，
∴a+b≥2
，
∴
≥
；
（2）如图，连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴Rt△ACD∽Rt△CBD，
∴
=
，
∴CD2=AD•BD=ab，
∴PC=
，
又∵CO=
，
∵CD≥OC，
∴
≥
．
| a |
| b |
∴a-2
| ab |
∴a+b≥2
| ab |
∴
| a+b |
| 2 |
| ab |
（2）如图，连接OC，∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴Rt△ACD∽Rt△CBD，
∴
| CD |
| AD |
| BD |
| CD |
∴CD2=AD•BD=ab，
∴PC=
| ab |
又∵CO=
| a+b |
| 2 |
∵CD≥OC，
∴
| a+b |
| 2 |
| ab |
点评：此题考查了圆的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、几何不等式的应用与证明以及完全平方公式等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意完全平方式的非负性的应用．
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