题目内容
8．
如图，已知：直线y=-$\frac{1}{2}$x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C为y轴负半轴上一点，连接BC，且∠ABC=45°，BC=2$\sqrt{10}$，作AD⊥BC，垂足为D．（1）求直线BC的解析式；
（2）点P（0，t）为AO上一点，过点P作x轴的平行线，分别交AB、AD于点M、N，设线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当△MND是以DM为腰的等腰三角形时，求t值．
分析 （1）首先根据直线y=-$\frac{1}{2}$x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，分别求出点A、B的坐标各是多少；然后设直线BC的斜率是k，根据∠ABC=45°，求出k的值是多少，即可求出直线BC的解析式．
（2）首先根据MP∥x轴，可得$\frac{AP}{AO}=\frac{MP}{OB}$，据此求出MP的值是多少；然后根据AD⊥BC，∠ABC=45°，BC=2$\sqrt{10}$，求出AD、BD、DC的值各是多少；再根据相似三角形判定的方法，判断出△AOE∽△ADC，推得$\frac{OE}{DC}=\frac{AO}{AD}$，据此求出OE的值是多少；最后根据MP∥x轴，可得$\frac{3-t}{3}=\frac{PN}{1}$，据此求出PN的值，即可求出d与t之间的函数关系式，并根据AO的长度，求出自变量t的取值范围．
（3）根据题意，分两种情况：①当△MND是等腰三角形，且DM=DN时；②当△MND是等腰三角形，且DM=MN时；然后根据等腰三角形的性质，分类讨论，求出t的值是多少即可．
解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{1}{2}$x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴A（0，3），B（6，0），
设直线BC的斜率是k，
∵∠ABC=45°，
∴$\frac{k-（-\frac{1}{2}）}{1-\frac{1}{2}k}$=tan45°=1，
解得k=$\frac{1}{3}$，
∴直线BC的解析式是y=$\frac{1}{3}$（x-6）=$\frac{1}{3}$x-2．
（2）如图1，AD与x轴交于点E，
∵MP∥x轴，
∴$\frac{AP}{AO}=\frac{MP}{OB}$，
即$\frac{3-t}{3}=\frac{MP}{6}$，
∴MP=6-2t．
∵AD⊥BC，∠ABC=45°，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{{6}^{2}{+3}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴DC=BC-BD=2$\sqrt{10}$-$\frac{3}{2}\sqrt{10}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∵AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
又∵∠CAD+∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠ACD，
在△AOE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠ADC=90°}\\{∠AEO=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴△AOE∽△ADC，
∴$\frac{OE}{DC}=\frac{AO}{AD}$，
即$\frac{OE}{\frac{\sqrt{10}}{2}}=\frac{3}{\frac{3\sqrt{10}}{2}}$，
∴OE=1，
∵MP∥x轴，
∴$\frac{3-t}{3}=\frac{PN}{1}$，
解得PN=1-$\frac{t}{3}$，
∴d=MN-PN=6-2t-（1-$\frac{t}{3}$）=-$\frac{5}{3}t+5$，
∵AO=3，点P（0，t）为AO上一点，
∴0＜t＜3，
∴d=-$\frac{5}{3}t+5$（0＜t＜3）．
（3）如图2，
∵MP∥x轴，
∴$\frac{AN}{AE}=\frac{AP}{AO}$，
∴$\frac{AN}{\sqrt{{3}^{2}{+1}^{2}}}=\frac{AN}{\sqrt{10}}=\frac{3-t}{3}$，
∴AN=$\frac{\sqrt{10}}{3}（3-t）$，
∴DN=AD-AN=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$-$\frac{\sqrt{10}}{3}（3-t）$=$\frac{\sqrt{10}}{3}t+\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∵MP∥x轴，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AP}{AO}$，
∴$\frac{AM}{\sqrt{{6}^{2}{+3}^{2}}}=\frac{3-t}{3}$，
解得AM=$\sqrt{5}$（3-t），
又∵AD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，∠DAM=90°-45°=45°，
∴DM2=AD2+AM2-2AD•AM•cos45°
=${（\frac{3\sqrt{10}}{2}）}^{2}$+${[\sqrt{5}（3-t）]}^{2}$-2×$\frac{3\sqrt{10}}{2}$×$\sqrt{5}$（3-t）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{45}{2}$+5t2-30t+45-45+15t
=$\frac{45}{2}$+5t2-15t
①当△MND是等腰三角形，且DM=DN时，
$\frac{45}{2}$+5t2-15t=${（\frac{\sqrt{10}}{3}t+\frac{\sqrt{10}}{2}）}^{2}$，
整理，可得
7t2-33t+36=0，
解得t=$\frac{12}{7}$或t=3，
∵0＜t＜3，
∴t=$\frac{12}{7}$．
②当△MND是等腰三角形，且DM=MN时，
$\frac{45}{2}$+5t2-15t=${（-\frac{5}{3}t+5）}^{2}$，
整理，可得
8t2+6t-9=0，
解得t=$\frac{3}{4}$或t=-$\frac{3}{2}$，
∵0＜t＜3，
∴t=$\frac{3}{4}$．
综上，可得
当△MND是以DM为腰的等腰三角形时，t=$\frac{12}{7}$或t=$\frac{3}{4}$．
点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（3）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
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