Question

【题目】已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E，F．

⑴试说明：BE=CF；

⑵若AF=3，BC=4，求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】(1)证明详见解析；(2)10．

【解析】试题分析：（1）连接DB、DC，根据角平分线性质和垂直平分线的性质得：DE=DF，DB=DC，证明Rt△BED≌Rt△CFD（HL），得出结论；

（2）先证明△AED≌△AFD，得AF=AE=3，再将△ABC的周长进行等量代换，即△ABC的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF﹣CF+BC，代入求值即可．

试题解析：连接DB、DC，

（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，

∵DG垂直平分BC，

∴DB=DC，

在Rt△BED和Rt△CFD中，

DE=DF，BD=CD，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴BE=CF；

（2）∵∠DAE=∠DAF，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，

∴△AED≌△AFD，

∴AF=AE=3，

由（1）得：BE=CF，

∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF﹣CF+BC=AE+AF+BC=3+3+4=10．