Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts（0＜t＜6），试尝试探究下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于8cm²；
（2）求证：四边形PBQD面积为定值；
（3）当t为何值时，△PDQ是等腰三角形．写出探索过程．

Answer 1

分析：（1）根据运动速度表示出长度和三角形面积公式列出方程．
（2）求出四边形PBQD的面积从而可证明．
（3）根据等腰三角形的判定求出不同情况下的解．

解答：（1）解：由题意得：

1

2

×（6-t）×2t=8
∴t=2或t=4
∴当t=2或t=4时△PBQ的面积等于8cm²．…（3分）

（2）证明：∵S四边形PBQD=6×12-

1

2

•t•12-

1

2

(12-2t)•6=36，
∴四边形PBQD的面积始终等于36，为定值．…（6分）

（3）解：①当DP=DQ时，由题意得12²+t²=6²+（12-2t）²，
解得t1=8+2

13

（舍去），t2=8-2

13

②当DP=PQ时，由题意得12²+t²=（6-t）²+（2t）²，
解得t1=

3-3 13

2

（舍去），t2=

3+3 13

2

（舍去），
③当DQ=PQ时，由题意得6²+（12-2t）²=（6-t）²+（2t）²，
解得t1=-6

13

-18（舍去），t2=6

13

-18
综上所述，当t为8-2

13

，或6

13

-18时，△PDQ等腰三角形．…（12分）

点评：本题考查矩形的性质，三角形的面积以及等腰三角形的判定定理．