Question

已知：AB是⊙O的弦，D是

AB

的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C．
（1）求证：AD=DC；
（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE=EC，求sinC．

Answer 1

分析：（1）连接BD，根据圆周角定理求出∠A=∠ABD，即AD=BD，再根据直角三角形的性质通过等量代换即可求出△BCD是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可解答．
（2）连接OD交AB于F，根据切线的性质可知OD⊥DE，由D是

AB

的中点可知AB⊥OD，四边形FBED为矩形，再根据直角三角形的性质可求出△BDC是等腰三角形，可求出BE=EC=DE，∠C=45°，再根据特殊角的三角函数值解答即可．

解答：（1）证明：连BD，
∵

BD

=

AD

，
∠A=∠ABD，
∴AD=BD；（2分）
∵∠A+∠C=90°，∠DBA+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC，
∴BD=DC，
∴AD=DC．（4分）

（2）解：连接OD交AB于F，
∵DE为⊙O切线，
∴OD⊥DE；（5分）
∵

BD

=

AD

，OD过圆心，
∴OD⊥AB；
又∵AB⊥BC，
∴四边形FBED为矩形，
∴DE⊥BC；（6分）
又∵BD=DC，
∴BE=EC=DE，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴∠C=45°；（7分）
∴sinC=

2

2

．（8分）

点评：此类题目比较复杂，解答此类题目的关键是作出辅助线，根据切线的性质及圆周角定理解答．