Question

已知：AB是⊙O的弦，D是

AB

的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C．
（1）求证：AD=DC；
（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE=EC，求∠C．

Answer 1

分析：（1）根据D是弧AB的中点，可以证得AD=BD，然后根据等角对等边，即可证得BD=CD，从而求证；
（2）证明△DCE是等腰直角三角形，即可求解．

解答：（1）证明：连接BD，
∵D是

AB

的中点．
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠A+∠C=∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠DBC=∠C，
∴BD=CD，
∴AD=DC；

（2）解：∵DE是○O的切线，
∴OD⊥DE，
∵D是

AB

的中点．
∴OD⊥AB，
∴AB∥DE，
∴DE⊥BC，
又∵DE=EC，
∴∠C=45°．

点评：本题主要考查了切线的性质，以及弧与弦之间的关系，正确证明△DCE是解题的关键．