Question

如图所示，反比例函数y=

1

x

和一次函数y=2x-k，其中一次函数的图象经过点（2，3）
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；
（3）利用（2）的结果，请问在x轴上是否存在点P，使△OPA为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把过一次函数的点代入一次函数，即可求得k；
（2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可；
（3）应先求出OA的距离，然后根据：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情况讨论解决．

解答：解：（1）将点（2，3）代入一次函数，得：k=1
所以一次函数为：y=2x-1；

（2）由

y=2x-1 y= 1 x

，
解得：

x1=1 y1=1

，

x2=- 1 2 y2=-2

，
∵点A在第一象限，
∴点A的坐标为；（1，1）；

（3）OA=

12+12

=

2

，OA与x轴所夹锐角为45°，
①当OA为腰时，由OA=OP₁得P₁（

2

，0），
由OA=OP₂得P₂（-

2

，0）；
由OA=AP₃得P₃（2，0）．
②当OA为底时，OP₄=AP₄得P₄（1，0）．
∴符合条件的点有4个，分别是（

2

，0），（-

2

，0），（2，0），（1，0）．

点评：本题考查了反比例函数综合，在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．同时在两个函数解析式上，应是这两个函数解析式的公共解．答案较多时，应有规律的去找不同的解．