Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x+与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与直线AC交于点E．

（1）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，连接PC，PE，当△PCE的面积S△PCE最大时，点P关于抛物线对称轴的对称点为点Q，此时点T从点Q开始出发，沿适当的路径运动至y轴上的点F处，再沿适当的路径运动至x轴上的点G处，最后沿适当的路径运动至直线AC上的点H处，求满足条件的点P的坐标及QF+FG+AH的最小值．

（2）将△BOC绕点B顺时针旋转120°，边BO所在直线与直线AC交于点M，将抛物线沿射线CA方向平移个单位后，顶点D的对应点为D′，点R在y轴上，点N在坐标平面内，当以点D′，R，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出N点坐标．

Answer 1

【答案】（1）P（﹣，），Q'H＝；（2）N（﹣，）或N（﹣，）或N（﹣，﹣）；

【解析】

（1）易求A（﹣3，0），B（1，0），C（0，），直线AC的直线解析式为y＝x+，当△PCE的面积S△PCE最大时，当P点到直线AC的距离d最大即可求出点P坐标，进而可求点Q坐标，作点Q关于y轴的对称点Q'，作AC关于x轴的对称AC'，过点Q'作直线AC'的垂线交于点H，角y轴于点F，交x轴于点G，即可求QF+FG+AH的最小值；

（2）由平移可知抛物线向下移动个单位，向左平移1个单位，易求B'O的直线解析式为y＝x﹣，从而可以知道点M的坐标，然后分类讨论：①当D'M是菱形RD'NM的对角线时，②当D'M∥RN时.

解：（1）在中令y=0，解得，∴A（﹣3，0），B（1，0），令x=0，解得，则C（0，），求得，

∴直线AC的直线解析式为，

过点P作PK∥y轴交AC于点K，设，其中，则

∵

∵，

∴抛物线开口向下，

又∵且对称轴为直线

∴当时，S△PCE最大，

∴

∵点P关于抛物线对称轴的对称点为点Q，抛物线对称轴x＝﹣1

∴

作点Q关于y轴的对称点），作AC关于x轴的对称AC'

过点Q'作直线AC'的垂线交于点H，交y轴于点F，交x轴于点G，

∴Q'F＝QF，

∵∠CAO＝∠OAH＝30°，

∴HG＝AHtan30°＝AH，

∴QF+FG+AH＝Q'F+FG+HG＝Q'H，

过Q'作Q'M⊥x轴，交x轴于点M，交AH于点N，

∴Q'M＝，

在Rt△AMN中，AM＝，

∴MN＝，

∴Q'N＝，

在中，

∴

∴∠HQ'N＝∠OAH＝30°，

∴Q'H＝；

（2）在Rt△OBC中，OC＝，OB＝1，

∴∠CBO＝60°，

∵将△BOC绕点B顺时针旋转120°，

∴∠O'BC＝60°，

∴O'（，），

将抛物线沿射线CA方向平移个单位，

∴BB'＝，BB'∥AC，

∴∠BB'K＝30°，

过点B'⊥x轴，交x轴于点K，

在Rt△BB'K中，B'K＝，BK＝1，

∴抛物线向下移动个单位，向左平移1个单位，

∵D（﹣1，），

∴D'（﹣2，），

∴B'O的直线解析式为y＝x﹣，

M点坐标为方程组的解，

∴M（，），

①当D'M是菱形RD'NM的对角线时，

D'M的中点为（﹣，），

设R（0，n），N（﹣，m），

∵＝，，

∴m＝﹣，

∴N（﹣，﹣）；

②当D'M∥RN时，

设R（0，n），N（﹣，m），

∵D'M2＝（）2+（）2＝13，

∴D'N2＝（）2+（﹣n）2＝13，

∴m＝或m＝﹣，

∴N（﹣，）或N（﹣，）；

∴N（﹣，）或N（﹣，）或N（﹣，﹣）；