Question

如图14.1，在梯形ABCD中，AD//BC,点M、N分别在边AB、DC上，且MN//AD，记AD=a ,BC=b.

若 AMMB= mn,则有结论：MN = bm+anm+n.

请根据以上结论，解答下列问题：

如图14.2、14.3，BE、CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP₁、PP₂、PP₃，交BC于点P₁，交AB于点P₂，交AC于点P₃  .

(1)若点P为线段EF的中点，求证： PP₁ = PP₂  + PP₃  ；

(2)若点P为线段EF上的任意点，试探究PP₁、PP₂、PP₃的数量关系，并给出证明。

Answer 1

解：（1）证明：过点E分别作BC、AB的垂线，垂足分别为M、N，过点F分别作BC、AC的垂线，垂足分别为G、H。

BE、CF分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，EN=EM，FH=FG，

PP2//EN，PP3//FH，点P为线段EF的中点，PP2=12EN=12EM,PP3=12FH=12FG.

PP1//FG//EM , FPPE, PP1= FG+EM1+1= FG+EM2=12FG+ 12EM = PP2+ PP3.

(2) PP1= PP2+ PP3.

证明：过点E分别作BC、AB的垂线，垂足分别为M、N，过点F分别作BC、AC的垂线，垂足分别为G、H。

令FG = a ,EM = b, FPPE= mn, PP1//FG//EM , PP1= bm+anm+n；

EM=EN, PP2EN= FPFPFP+PE= mm+n,PP2= mm+n·EN= mm+n·EM= bmm+n ；

同理可得：PP3 = nm+n·FH = nm+n·FG = anm+n；bmm+n+ anm+n= bm+anm+n,

PP1= PP2+ PP3.