Question

已知二次函数的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5）．
（1）求该函数的关系式；
（2）当-3≤x＜-

1

2

时，则对应函数值y的取值范围为

 

；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象与几何变换,二次函数与不等式（组）

专题：代数几何综合题,待定系数法

分析：（1）设二次函数解析式为y=a（x+1）²+4，把点B的坐标代入解析式求出a的值，即可得解；
（2）根据二次函数的增减性和最值问题，当x=-3时取得最小值，x=-1时取得最大值，计算即可得解；
（3）根据（-3，0）二次函数与x轴的交点求出平移后的点A′、B′的坐标，再利用待定系数法求出直线A′B′的函数解析式，然后求出与x轴的交点坐标，再根据△OA′B′的面积等于两个三角形的面积的和列式计算即可得解．

解答：解：（1）设二次函数解析式为y=a（x+1）²+4，
把点B（2，-5）代入得，a（2+1）²+4=-5，
解得a=-1，
所以，函数解析式为y=-（x+1）²+4；

（2）二次函数图象对称轴为直线x=-1，
∵a=-1＜0，
∴x=-3时，y有最小值，为-（-3+1）²+4=0，
x=-1时，y有最大值，为4，
∴对应函数值y的取值范围为0≤y≤4；
故答案为：0≤y≤4；

（3）令y=0，则-（x+1）²+4=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∴函数图象向右平移3个单位，图象经过原点，
此时A′（2，4），B′（5，-5），
设直线A′B′的函数解析式为y=kx+b，
则

2k+b=4 5k+b=-5

，
解得

k=-3 b=10

，
∴直线A′B′的函数解析式为y=-3x+10，
令x=0，则-3x+10=0，
解得x=

10

3

，
∴△O A′B′的面积=

1

2

×

10

3

×（4+5）=15．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的增减性和最值问题，（3）确定出平移的距离并把△OA′B′的面积分成两个三角形求解是解题的关键．