Question

20．如图，点O是△ABC的内心，根据下列条件，求∠BOC的度数．
（1）∠ABC=50°，∠ACB=60°；
（2）∠A=50°．

Answer 1

分析 （1）由点O是△ABC的内心，得出OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，得出∠OBC、∠OCB的度数，再由三角形内角和即可得出∠BOC的度数；
（2）由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=130°，由点O是△ABC的内心，得出OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，得出∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=65°，由三角形内角和定理求出∠BOC的度数即可．

解答 解：（1）∵点O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=25°，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-30°=125°；
（2）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，
∵点O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=65°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°．

点评 本题考查了三角形内切圆与内心、三角形内角和定理；熟练掌握三角形的内心和三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．