Question

如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE²+PF²=PO²；④PF=FO；⑤当PE=PF时，点P是AB的中点．其中正确的结论有（　　）

• A、5个
• B、4个
• C、3个
• D、2个

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵在△APE和△AME中，

∠BAC=∠DAC AE=AE ∠AEP=∠AEM

，
∴△APE≌△AME，故①正确；
∴PE=EM=

1

2

PM，
同理，FP=FN=

1

2

NP．
∵正方形ABCD中AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE，
∴四边形PEOF是矩形．
∴PF=OE，
∴PE+PF=OA，
又∵PE=EM=

1

2

PM，FP=FN=

1

2

NP，OA=

1

2

AC，
∴PM+PN=AC，故②正确；
∵四边形PEOF是矩形，
∴PE=OF，
在直角△OPF中，OF²+PF²=PO²，
∴PE²+PF²=PO²，故③正确；
当AP=BP时，PF=FO，故④错误；
∵由①知△APE≌△AME，
∴PM=2PE，
同理可得，PN=2PF，
∵PE=PF，
∴PM=PN，
∴点P是AB的中点，故⑤正确．
故选B．

点评：本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键．