题目内容
【题目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．
（1）如图1，当BD=2时，AN=___ __，NM与AB的位置关系是____ _____；
（2）当4<BD<8时，
①依题意补全图2；
②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；
（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．
【答案】（1）
，垂直；（2）①补图见解析；②结论（1）成立，证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由已知条件得到CD=2，由勾股定理求出AD，由旋转的性质得到△ADE是等腰直角三角形，求出DE、AD的长度，再由直角三角形的性质推出AN=
DE，AM=
AB，推出△ACD∽△AMN，根据三角形相似的性质即可得出结论；（2）①根据题意补全图形即可；②根据等腰直角三角形性质得到∠CAB=∠B=45°，求得∠CAN +∠NAM=45°，根据旋转的性质得到AD=AE，∠DAE=90°，推出△AMN∽△ADC，由三角形相似的性质得到∠AMN=∠ACD，即可得出结论；（3）连接ME、EB，过M 作MG⊥EB于点G，过A作AK⊥AB交BD于的延长线于K，得到△AKB是等腰直角三角形，推出△ADK≌△ABE，根据全等的性质可得∠ABE=∠K=45°，证得△BMG是等腰直角三角形，求出BC=4，AB=4
，MB=2
，因为ME≥MG，所以当ME=MG时，ME的值最小，直接写出结论即可.
试题解析：
（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，
∴AD=
=2
，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=
AD=2
，
∵N是ED的中点，
∴AN=
DE=
，
∵M是AB中点，
∴AM=
AB=2
，
∵
=
=
， 
=
=
，
∴
=
，
∵∠CAB=∠DAN=45°，
∴∠CAD=∠MAN，
∴△ACD∽△AMN，
∴∠AMN=∠C=90°，
∴MN⊥AB；
（2）①补全图形如图所示；
②结论：（1）中NM与AB的位置关系不变．
证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠CAN +∠NAM=45°，
∵AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，
∵N为ED的中点，
∴∠DAN=
∠DAE=45°，AN⊥DE，
∴∠CAN +∠DAC =45°，∠AND=90°，
∴∠NAM =∠DAC，
在Rt△AND中， 
=cos∠DAN= cos45°=
，
在Rt△ACB中， 
=cos∠CAB= cos45°=
，
∵M为AB的中点，
∴AB=2AM，
∴
，
∴
即
，
∴
，
∴△ANM∽△ADC ，
∴∠AMN=∠ACD，
∵点D在线段BC的延长线上，
∴∠ACD=180°－∠ACB =90°，
∴∠AMN=90°，
∴NM⊥AB．
（3）当BD的长为6时，ME的长的最小值为 2 ．
连接ME、EB，过M 作MG⊥EB于点G，过A作AK⊥AB交BD于的延长线于K，则△AKB是等腰直角三角形，
再△ADK和△ABE
,
∴△ADK≌△ABE，
∴∠ABE=∠K=45°，
∴△BMG是等腰直角三角形，
∵BC=4，
∴AB=4
，MB=2
，
∴MG=2，
∵∠G=90°，
∴ME≥MG，
∴当ME=MG时，ME的值最小，
∴ME=MG=2，
∴DK=BE=2，
∵CK=BC=4，
∴CD=2，
∴BD=6.
∴当BD的长为6时，ME的长的最小，最小值为 2 ．
