Question

【题目】如图，在矩形A′B′CD中，A′B′=10， B′C=8，以CD为直径作⊙O．将矩形A′B′CD绕点C旋转，使所得矩形ABCD′的边AB与⊙O相切，切点为E．

(1)证明：CE平分∠BCD；

(2)求线段AE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）6

【解析】

（1）连接OE，利用切线的性质证得OE⊥AB，根据矩形的性质和旋转的性质得到∠B=90°，即可证得OE∥BC，利用平行线的性质即可得到结论；

（2）过点O作OF⊥BC于点F，得到四边形OEBF为矩形，求出OE得到CF，即可根据勾股定理求出OF，由此得到答案.

（1）连接OE，

∵直线AB与⊙O的相切，

∴OE⊥AB，

在矩形A′B′CD中∠B′=90°，

由旋转可知∠B=90°，

∴OE∥BC，

∴∠BCE=∠OEC，

∴OE=OC，

∴∠OCE=∠OEC，

∴∠OCE=∠BCE，

即CE平分∠BCD；

（2）过点O作OF⊥BC于点F，

则四边形OEBF为矩形，

∴BF=OE=10÷2=5，

∴CF=8-5=3，

Rt△OFC中，，

∴AE=AB-BE=AB-OF=10-4=6.