Question

10．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是$\widehat{ABC}$的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F，DE交AC于点G，EH为⊙O的切线，交AC的延长线于H，AF=3，FB=$\frac{4}{3}$，则tan∠DEH=（　　）

• A． $\frac{12}{5}$
• B． $\frac{5}{12}$
• C． $\frac{5}{13}$
• D． $\frac{12}{13}$

Answer 1

分析 连接OE，如图2，根据切线的性质得OE⊥EH，则∠OEF+∠DEH=90°，而∠OEF+∠FOE=90°，根据等角的余角相等得∠FOE=∠DEH，求出OF、EF，在Rt△OEF中，根据tan∠DEH=tan∠EOF=$\frac{EF}{OF}$ 计算即可．

解答 解：连接OE，如图2，
∵EH为⊙O的切线，
∴OE⊥EH，
∴∠OEF+∠DEH=90°，
而∠OEF+∠FOE=90°，
∴∠FOE=∠DEH，
∵AF=3，FB=$\frac{4}{3}$，
∴AB=AF+BF=$\frac{13}{3}$，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{13}{6}$，
∴OF=OB-FB=$\frac{5}{6}$，
在Rt△OEF中，OE=$\frac{13}{6}$，OF=$\frac{5}{6}$，
∴EF=$\sqrt{O{E}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{13}{6}）^{2}-（\frac{5}{6}）^{2}}$=2．
∴tan∠DEH=tan∠EOF=$\frac{EF}{OF}$=$\frac{2}{\frac{5}{6}}$=$\frac{12}{5}$．
故选A．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和解直角三角形．