Question

19．如图，边长为$\sqrt{3}$的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，则四边形DHFC的面积为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 9
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如图，连接CH；首先证明△CDH≌△CFH；其次求出DH的长度，进而求出△CDH的面积，即可解决问题．

解答 解：如图，连接CH；
∵四边形ABCD为边长为3的正方形，
∴BC=CD=$\sqrt{3}$；∠BCD=90°；
由旋转变换的性质知：∠BCF=30°，
∴∠DCF=60°，
在Rt△CDH与Rt△CFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{CH=CH}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴△CDH≌△CFH（HL），
∴∠HCD=∠HCF=30°；
∵tan30°=$\frac{DH}{CD}$，
∴DH=$\sqrt{3}$$•\frac{\sqrt{3}}{3}$=1，
∴四边形DHFC的面积=2S_△CDH
=2×$\frac{1}{2}$CD•DH=$\sqrt{3}$，
故答案为$\sqrt{3}$．

点评 该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理及其应用问题；解题的方法是作辅助线；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、正方形的性质等来分析、判断、求解．