Question

15．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°．将直角边足够长的Rt△EPF的直角顶点P放在线段BC的中点上，以点P为旋转中心，转动Rt△EPF并使它的两直角边PE，PF分别与AC，AB相交于点N，M，连MN，AP，交于D点，则下列几组量：
①PM，PN；
②AM，CN；③∠NMA，∠BPM；
④∠B，∠F，
相等的有（　　）

• A． 1组
• B． 2组
• C． 3组
• D． 4组

Answer 1

分析 由条件可证明△APN≌△BPM，可判断①②；利用等腰三角直角三角形的性质结合外角的性质可判断③；利用等腰直角三角形的性质可判断④，可求得答案．

解答 解：
∵△ABC为等腰直角三角形，P这斜边BC的中点，
∴AP⊥BC，
∴∠CAP=∠B=45°，PA=PB，
∵∠APE与∠BPE均为旋转角，
∴∠APE=∠BPF=α，
在△APN和△BPM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NAP=∠B}\\{AP=BP}\\{∠APN=∠BPM}\end{array}\right.$
∴△APN≌△BPM（ASA），
∴PM=PN，即①相等，BM=AN，
∵AB=AC，
∴AM=CN，即②相等，
∵PM=PN，∠EPF=45°，
∴△PMN为等腰直角三角形，
∴∠NMP=∠PNM=45°，
∵∠AMP=∠MPB+∠B，∠NMP=∠B=45°，
∴∠NMP=∠BPM，即③相等，
∵△PEF不一定是等腰直角三角形，
∴∠F是否为45°不确定，
∵∠B=45°，
∴④不一定相等，
∴相等的有3组，
故选C．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰直角三角形的性质，解题的关键在于找到全等三角形，得到对应的边角相等．