Question

已知抛物线y＝ax²－2ax＋c－1的顶点A在直线y＝－x＋8上，与x轴交于B(α，0)、C(β，0)两点，其中α＜β，且α²＋β²＝10，求抛物线的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵－＝1，＝c－1－a， 　　∴顶点A的坐标是(1，c－1－a)， 　　∵点A在直线y＝－x＋8上， 　　∴c－1－a＝，即c＝a＋，① 　　又∵抛物线与x轴交于B(α，0)、C(β，0)两点， 　　∴α、β是方程ax2－2ax＋c－1＝0的两个根， 　　∴α＋β＝2，αβ＝． 　　∵α2＋β2＝10，即(α＋β)2－2αβ＝10， 　　∴4－2×＝10，即c＝1－3a．② 　　由①、②得a＝－，c＝5， 　　∴y＝－x2＋x＋4． 　　又△＝()2－4×(－)×4＞0，符合题意， 　　∴所求抛物线解析式为y＝－x2＋x＋4． 　　分析：抛物线表达式有两个待定系数，需有两个独立的条件，我们可由已知抛物线的顶点在直线y＝x＋8上确定a和c的第一个关系式，再由它与x轴的两个交点的横坐标α、β的平方和等于10建立a和c的第二个关系式，解出a、c，抛物线的解析式便确定了． 　　点评：此题不是直接给定图像上的两个点或x、y的两组对应值确定函数解析式的，而是根据题意运用方程思想探求到待定系数间的两个等量关系，通过求解方程组确定待定数的，其中用到的数学知识有：一元二次方程的根与系数关系，根的判别式．