Question

如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F．求证：

AB

AC

=

DF

AF

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：首先由直角三角形的性质可得：△CBA∽△ABD，根据相似三角形的对应边成比例，可得：AB：AC=BD：AD，又由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证得：ED=

1

2

AC=EC，可得：∠C=∠EDC，则易得：∠FAD=∠FDB，∠F为公共角，证得：△DBF∽△ADF，则得：BD：AD=DF：AF，则问题得证．

解答：证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴△CBA∽△ABD，
∴

AB

BD

=

AC

AD

，
∴AB：AC=BD：AD①，
∴∠C=∠FAD，
又∵E为AC的中点，AD⊥BC，
∴ED=

1

2

AC=EC，
∴∠C=∠EDC，
又∵∠EDC=∠FDB，
∴∠FAD=∠FDB，∠F为公共角，
∴△DBF∽△ADF，
∴BD：AD=DF：AF②，
由①②得，

AB

AC

=

DF

AF

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．