Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，对称轴是直线，顶点为点，抛物线与轴交于点．

（1）求抛物线的表达式和点的坐标；

（2）将上述抛物线向下平移个单位，平移后的抛物线与轴正半轴交于点，求的面积；

（3）如果点在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结交线段于点，，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的表达式为，

（2）

（3）

【解析】

（1）由题意知二次函数对称轴x=-，点，对称轴是直线，抛物线的表达式为，代入顶点公式即可求出；

（2）根据题意分别找到B，C，D三点求三角形面积即可；

（3）根据平行线分线段成比例，组图利用平行线来求P点坐标．

（1）根据二次函数，对称轴x=-，

系数a=1，b=m，c=n，

又∵点，对称轴是直线，代入得：

x=-=--=1，-2=4+2m+n，

则m=-2，n=-2，

∴函数解析式为；

顶点坐标为，代入a=1，b=-2，c=-2得：

顶点；

（2）由平移知识知平移后解析式为：，

则与x正半轴交点为y=0，带入函数式求得x=3，

即D（3，0），

根据求得坐标作图，作BM⊥x轴，

则=+-，

∴=+ - ，

代入数值解得：=，

即的面积为；

（3）

作OP平行于AB交抛物线于点P，由题意设P(x，)，

∵，

∴AB：OP=1：5，

由点，，

得：AB=，

∴OP=5AB=5，

OP= ，

∴=5，

解得：x=4，或x=-3，

∵P 在对称轴右侧，

∴x>0，

∴x=4，

把x=4代入原函数表达式得：y=6；

∴P点坐标为P(4，6)．