Question

如图，抛物线经过A（4，0）、B（1，0）、C（0，-2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是第一象限内抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用交点式，设抛物线解析式为：y=a（x-4）（x-1），进而代入（0，-2）求出a的值，即可得出答案；
（2）首先表示出P点坐标（m，-

1

2

m²+

5

2

m-2），进而利用相似三角形的性质分别得出m的值，进而得出答案．

解答：解：（1）设抛物线解析式为：
y=a（x-4）（x-1），
把c（0，-2）带入得a=-

1

2

，
∴抛物线解析式为：y=-

1

2

（x-4）（x-1）=-

1

2

x²+

5

2

x-2；

（2）如图，设P点横坐标为m，则P点纵坐标为：-

1

2

m2+

5

2

m-2，
因为P是第一象限内抛物线上一动点，所以1＜m＜4，
AM=4-m，PM=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
①当

AM

PM

=

AO

CO

=

2

1

时，
△APM∽△ACO，
即4-m=2（-

1

2

m²+

5

2

m-2），
解得m₁=2，m₂=4（舍去），
∴P（2，1），
②当

AM

PM

=

CO

AO

=

1

2

时，△APM∽△CAO，
即4-m=

1

2

（-

1

2

m²+

5

2

m-2），
解得m₃=4，m₄=5（均不合题意，舍去），
∴1＜m＜4时，P点坐标为（2，1）．

点评：此题主要考查了交点式求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．