Question

如图，抛物线经过A（-2，0）、B（8，0）两点，与y轴正半轴交与点C，且AB=BC，点P为第一象限内抛物线上一动点（不与B、C重合），设点P的坐标为（m，n）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在BC上，且PD∥y轴，探索

BD•DC

PD

的值；
（3）设抛物线的对称轴为l，若以点P为圆心的⊙P与直线BC相切，请写出⊙P的半径R关于m函数关系式，并判断⊙P与直线l的位置关系．

Answer 1

分析：（1）AB=BC得C（0，6），设抛物线的交点式，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线BC的解析式，再根据两点间的距离公式可求PD=（-

3

8

m²+

9

4

m+6）-（-

3

4

m+6）=

3

8

m（8-m），CD=

5

4

m，BD=

5

4

（8-m）．从而得到

BD•DC

PD

的值；
（3）R=

4

5

PD=-

3

10

m（8-m），对称轴l：x=3．分若⊙P与l右切；若⊙P与l左切，可求m的值；再分当0＜m＜

17- 199

3

或

7+ 139

3

＜m＜8时；当m=

17- 199

3

或m=

7+ 139

3

时；当

17- 199

3

＜m＜

7+ 139

3

时；三种情况讨论可得⊙P与直线l的位置关系．

解答：解：（1）由AB=BC得C（0，6）．
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-8），则a=-

3

8

．
故y=-

3

8

（x+2）（x-8）=-

3

8

x²+

9

4

x+6；

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（8，0），C（0，6）代入得

8k+b=0 b=6

，
解得

k=- 3 4 b=6

．
故直线BC的解析式为y=-

3

4

x+6．
所以PD=（-

3

8

m²+

9

4

m+6）-（-

3

4

m+6）=

3

8

m（8-m），CD=

5

4

m，BD=

5

4

（8-m）．所以

BD•DC

PD

=

25

6

．

（3）R=

4

5

PD=-

3

10

m（8-m），对称轴l：x=3．
若⊙P与l右切，则-

3

10

（m²-8m）=m-3，解得m₁=

7- 139

3

（舍），m₂=

7+ 139

3

；
若⊙P与l左切，则-

3

10

（m²-8m）=3-m，解得m₁=

17+ 199

3

（舍），m₂=

17- 199

3

．
由于0＜m＜8，
所以，当0＜m＜

17- 199

3

或

7+ 139

3

＜m＜8时，⊙P与直线l相离；
当m=

17- 199

3

或m=

7+ 139

3

时，⊙P与直线l相切；
当

17- 199

3

＜m＜

7+ 139

3

时，⊙P与直线l相交．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：勾股定理，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，两点间的距离公式，切线的性质，直线与圆的位置关系，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．