Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC="3" ，tan∠BAC=，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系

（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；
（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d有无最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．
（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标．

Answer 1

（1）y=；（2）当t=时，d有最大值，最大值为2；（3）

试题分析：（1）在Rt△ABC 中，根据∠BAC的正切函数可求得AC=4，再根据勾股定理求得AB，设OC=m，连接OH由对称性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，即得AH=AB-BH=2，OA=4-m．在Rt△AOH 中，根据勾股定理可求得m的值，即可得到点O、A、B的坐标，根据抛物线的对称性可设过A、B、O三点的抛物线的解析式为：y=ax（x-），再把B点坐标代入即可求得结果；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据待定系数法求得直线AB的解析式，设动点P（t，），则M（t，），先表示出d关于t的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果；
（3）设抛物线y=的顶点为D，先求得抛物线的对称轴，与抛物线的顶点坐标，根据抛物线的对称性，A、O两点关于对称轴对称．分AO为平行四边形的对角线时，AO为平行四边形的边时，根据平行四边形的性质求解即可.
（1）在Rt△ABC 中，∵BC="3" ，tan∠BAC=，
∴AC=4．
∴AB=．
设OC=m，连接OH

由对称性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，
∴AH=AB-BH=2，OA=4-m．
∴在Rt△AOH 中， OH²+AH²=OA²，即m²+2²=(4-m)²，得 m=．
∴OC=，OA=AC－OC=，
∴O（0，0） A（，0），B（-，3）．
设过A、B、O三点的抛物线的解析式为：y=ax（x-）．
把x=，y=3代入解析式，得a=．
∴y=x（x-）=．
即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=．
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意得
，解之得，．
∴直线AB的解析式为y=． 
设动点P（t，），则M（t，）． 
∴d=（）—（）=—=
∴当t=时，d有最大值，最大值为2．
（3）设抛物线y=的顶点为D．
∵y==，
∴抛物线的对称轴x=，顶点D（，-）．
根据抛物线的对称性，A、O两点关于对称轴对称．
当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形．这时点D即为点E，所以E点坐标为（）．
当AO为平行四边形的边时，由OA=，知抛物线存在点E的横坐标为或，即或，
分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中，得点E（，）或E（-，）．
所以在抛物线上存在三个点：E₁（，-），E₂（，），E₃（-，），使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形．
点评：此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．