Question

【题目】如图，一次函数y=3x与反比例函数y=的图象交于点A，B，点P在以C(﹣4，0)为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，若OQ长的最大值为，则k的值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设B（t，3t），则CD＝t（4）＝t＋4，BD＝3t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．

解：如图，连接BP，
由对称性得：OA＝OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ＝BP，
∵OQ长的最大值为
∴BP长的最大值为2×＝5，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP＝1，
∴BC＝BP-1=4，
∵B在直线y＝3x上，
设B（t，3t），则CD＝t（4）＝t＋4，BD＝3t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2＋BD2，
∴42＝（t＋4）2＋（3t）2，
解得t＝0（舍）或，
∴B（,），
∵点B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴k＝（）×（）＝．
故答案为：．